Nommer les éléments d'un train épicycloïdal, appliquer la formule de Willis pour calculer un rapport de réduction, et choisir un accouplement adapté aux défauts d'alignement et au couple à transmettre.
Dans un train simple, tous les axes sont fixes. Dans un train épicycloïdal (ou planétaire), certains axes tournent autour d'un axe central. On y trouve quatre éléments coaxiaux :
Planétaire (soleil)
Roue centrale à denture extérieure, Za dents. Souvent l'entrée.
Satellites
Deux à quatre pignons identiques qui engrènent à la fois avec le planétaire et la couronne. Ils tournent sur eux-mêmes et autour du centre.
Porte-satellites
Bras ou plateau qui porte les axes des satellites. Sa vitesse est notée ωps.
Couronne
Roue à denture intérieure, Zc dents, souvent fixe (carter) ou frein.
Le train a deux degrés de liberté : il faut bloquer un élément (ou en piloter deux) pour obtenir un rapport de transmission défini. C'est ce qui rend les boîtes automatiques possibles : en freinant tour à tour la couronne, le planétaire ou le porte-satellites, on change de rapport sans désengrener.
2. La formule de Willis
Willis observe le train depuis le porte-satellites : dans ce repère, les axes sont fixes et le train redevient un train simple. Le rapport de base λ est celui de ce train simple : pour un satellite intercalé entre planétaire et couronne, λ = −Zc / Za (négatif, car planétaire et couronne tournent en sens inverse relativement au porte-satellites).
3Rapport : r = ωps / ωa = 1/4 = Za / (Za + Zc). La sortie tourne à 375 tr/min, dans le même sens que l'entrée.
4Variante : planétaire fixe, entrée couronne, sortie porte-satellites : r = Zc / (Za + Zc) = 3/4. Porte-satellites fixe : r = −Za/Zc = −1/3 (inverseur).
Pourquoi les satellites ne comptent pas
Le nombre de dents des satellites n'apparaît pas dans la formule : ils jouent le rôle de roues intermédiaires. Il doit cependant vérifier la condition de montage Zc = Za + 2 Zs (ici Zs = 20) et la condition d'équirépartition (Za + Zc) / nsatellites entier.
Réducteur planétaire industriel
r = 1/3 à 1/10 par étage, compact, coaxial, rendement ≈ 0,97
Boîte automatique (Ravigneaux, Simpson)
2 à 3 trains combinés, freins et embrayages hydrauliques, 6 à 10 rapports
Moyeu de vélo à vitesses intégrées
3 à 14 rapports dans le moyeu, couronne = moyeu
Différentiel automobile
Train épicycloïdal sphérique : les deux roues sont les planétaires
Réducteur de visseuse
2 étages en série, r ≈ 1/16 à 1/25
3. Les accouplements
Un accouplement relie deux arbres bout à bout pour transmettre un couple. Aucun montage n'est parfaitement aligné : il subsiste un désalignement radial (axes décalés), angulaire (axes inclinés) et axial (dilatation). Le choix de l'accouplement dépend de ces défauts, du couple et de la présence de chocs.
Rigide (manchon, plateaux)
Deux plateaux boulonnés ou un manchon claveté. Aucun désalignement toléré : usinage et alignement précis, sinon flexion alternée et rupture de fatigue. Couples élevés, arbres longs de ligne.
Élastique (à tampons, à araignée)
Élément en élastomère entre deux moyeux à griffes. Absorbe les chocs et les vibrations, tolère 1 à 2° d'angle et 0,2 à 0,5 mm de radial. Le standard moteur-pompe, moteur-réducteur.
À cardan
Joint à croisillon : jusqu'à 30 à 45° d'angle, mais la vitesse de sortie pulse deux fois par tour. On monte deux cardans en Z ou en W, fourches en phase, pour annuler cette irrégularité.
Homocinétique
Joint à billes (Rzeppa) ou tripode : la vitesse de sortie est rigoureusement égale à celle d'entrée quel que soit l'angle (jusqu'à 45°). Transmissions des voitures à traction avant.
Limiteur de couple
Disques de friction ou billes chargées par ressort : au-delà du couple réglé, l'accouplement patine ou se désengage. Protège motoréducteur et machine en cas de blocage.
À soufflet, à lamelles
Sans jeu, très rigides en torsion, tolèrent de petits défauts d'alignement. Servomoteurs, vis à billes, machines-outils : ils préservent la précision de positionnement.
Règle de choix : un accouplement élastique pour la plupart des entraînements industriels, un cardan double ou homocinétique dès que l'angle dépasse 3°, un limiteur quand un blocage aval est possible, et jamais un accouplement rigide sans mesure d'alignement au comparateur.
Le signe de λ compte : oublier le signe moins de la couronne intérieure donne un rapport faux (1/2 au lieu de 1/4 dans l'exemple).
Willis relie des vitesses angulaires ; un tr/min se convertit en rad/s par 2π/60 si vous mélangez les unités.
Un cardan simple à 20° fait varier la vitesse de sortie de ±6 % à chaque tour : vibrations garanties si l'on oublie le second cardan.
Un limiteur de couple à friction se règle machine à l'arrêt et se contrôle régulièrement : les disques s'usent.
·Quatre éléments : planétaire, satellites, porte-satellites, couronne ; deux degrés de liberté.
·Willis : (ωa − ωps) / (ωc − ωps) = −Zc/Za.
·Couronne fixe, entrée planétaire, sortie porte-satellites : r = Za / (Za + Zc), même sens.
·Accouplement élastique par défaut ; cardan double ou homocinétique pour les grands angles ; limiteur si blocage possible.
·Rigide = alignement au comparateur obligatoire.
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