Automatismes · cours 2 sur 6 · 14 min de lecture

Logique combinatoire

Manipuler des variables binaires, écrire une équation logique à partir d'une table de vérité, la simplifier, et la traduire en schéma à contacts ou en logigramme.

Élève : se tester sur ce chapitre ↓

1. Variables binaires

Un capteur fin de course est actionné ou non, un bouton est appuyé ou relâché, un moteur tourne ou est arrêté : chaque information ne prend que deux états, notés 0 et 1. Une variable binaire (ou logique) représente cet état. Un système est dit combinatoire quand ses sorties ne dépendent que de l'état présent de ses entrées, sans mémoire du passé (à l'inverse du séquentiel, objet du GRAFCET).

2. Les trois fonctions de base

NON (inverseur)

S = a (lu « a barre »). S vaut 1 quand a vaut 0. Contact normalement fermé.

ET (produit logique)

S = a · b. S vaut 1 seulement si a et b valent 1. Deux contacts en série.

OU (somme logique)

S = a + b. S vaut 1 dès que a ou b vaut 1 (ou les deux). Deux contacts en parallèle.

Deux fonctions dérivées sont très utilisées : le NON-ET (NAND, S = a · b) et le NON-OU (NOR, S = a + b). Le OU exclusif (XOR, S = a ⊕ b) vaut 1 quand a et b sont différents : c'est la logique du va-et-vient d'un couloir.

3. La table de vérité

Elle liste toutes les combinaisons des entrées et la sortie correspondante. Avec n entrées, il y a 2ⁿ lignes : 4 lignes pour deux entrées, 8 pour trois, 16 pour quatre. On les écrit dans l'ordre binaire croissant (00, 01, 10, 11) pour n'en oublier aucune. Pour a · b : seule la ligne 11 donne 1. Pour a + b : seule la ligne 00 donne 0.

4. De la table à l'équation

1Repérer les lignes où S = 1.
2Écrire un produit par ligne : chaque variable apparaît telle quelle si elle vaut 1, barrée si elle vaut 0. La ligne a = 1, b = 0 donne a · b.
3Additionner les produits : S est la somme de tous ces termes (forme dite « somme de produits »).
4Simplifier avec les règles de l'algèbre de Boole.

a + a = 1 · a · a = 0 · a + a·b = a · a·b + a·b = a · a · b = a + b (De Morgan)

Exemple de simplification

S = a·b + a·b + a·b. On regroupe les deux premiers termes : a·(b + b) = a. Reste S = a + a·b, et la règle d'absorption a + a·b = a + b donne S = a + b. Trois termes réduits à un simple OU : deux contacts au lieu de six.

5. Deux façons de dessiner

Schéma à contacts (Ladder)

Hérité des armoires à relais et natif des automates (langage LD de la norme IEC 61131-3). Une ligne d'alimentation à gauche, la bobine de sortie à droite, entre les deux des contacts : série = ET, parallèle = OU, contact fermé au repos = NON.

Logigramme

Symboles normalisés IEC 60617 : rectangle marqué & pour le ET, ≥1 pour le OU, 1 avec un petit cercle en sortie pour le NON, =1 pour le OU exclusif. Lecture de gauche (entrées) à droite (sortie). C'est aussi le langage FBD des automates.

6. Application : démarrage sécurisé d'une presse

Le moteur M d'une presse ne doit démarrer que si l'opérateur appuie sur le bouton de marche m, que le carter de protection est fermé (capteur c = 1) et qu'aucun arrêt d'urgence n'est enclenché (au = 1 au repos, contact fermé au repos qui s'ouvre quand on frappe le coup de poing). Pour protéger les mains, on ajoute une commande bimanuelle : deux boutons b1 et b2 à presser ensemble, un à chaque main. L'équation combinatoire devient :

M = b1 · b2 · c · au — quatre contacts en série sur le schéma à contacts, une porte ET à quatre entrées sur le logigramme

Un voyant d'alerte V doit s'allumer quand le carter est ouvert ou que l'arrêt d'urgence est actionné : V = c + au, soit, par De Morgan, V = c · au : le voyant est simplement l'inverse de la condition de sécurité.

Sécurité fonctionnelle : l'arrêt d'urgence et le carter se câblent toujours avec des contacts à ouverture (fermés au repos). Ainsi, un fil coupé ou un capteur débranché produit un 0, donc l'arrêt : c'est le principe de la sécurité positive. Un contact à fermeture ne détecterait jamais sa propre panne.

Ne confondez pas le signe + logique (OU) avec une addition : 1 + 1 = 1 en logique booléenne.

Dans une table de vérité, écrivez les combinaisons en ordre binaire pour n'en sauter aucune : 2ⁿ lignes exactement.

Sur un schéma à contacts, le symbole du contact représente son état au repos, pas la variable : un capteur c à ouverture apparaît comme contact fermé.

La commande bimanuelle réelle exige en plus une simultanéité (< 0,5 s) : c'est du séquentiel, traité par un relais de sécurité dédié, hors logique combinatoire pure.

En images

Démarrage sécurisé d'une presse : la table de vérité, le schéma à contacts et le logigramme de l'équation M = b1 · b2 · c · au — Démarrage sécurisé : table, schéma à contacts et logigramme

Pour aller plus loin

WIKIAlgèbre de Boole (logique)Wikipédia FR · opérateurs, propriétés, théorèmes de De Morganhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Boole_(logique)WIKILangage LadderWikipédia FR · schéma à contacts, contacts, bobines, norme IEC 61131-3https://fr.wikipedia.org/wiki/Langage_Ladder

À retenir

ET = contacts en série, OU = contacts en parallèle, NON = contact fermé au repos.
n entrées ⇒ 2ⁿ lignes de table de vérité.
Équation = somme des produits des lignes où S = 1, puis simplification (a + a̅·b = a + b).
De Morgan : le complément d'un ET est le OU des compléments, et réciproquement.
Sécurité positive : arrêt d'urgence et protecteurs câblés en contacts à ouverture.

Vous êtes élève ? Testez-vous sur ce chapitre

6 questions corrigées, chacune avec son explication. Les trois premières se font tout de suite, sans compte ; la suite, avec une classe abonnée ou un compte personnel.

Faire les 3 premières questions

Votre classe ne l’utilise pas ? Avec un établissement abonné, tout s’ouvre et votre formateur voit où chacun en est. Envoyez-lui ce cours :