Périmètres, aires, volumes et masses

1. Pourquoi calculer une aire, un volume, une masse

Combien pèse ce brut, et faut-il un palan pour le monter sur la machine ? Combien de barres commander pour un lot ? Cette pièce a-t-elle « le bon poids » ? Toutes ces questions se règlent avec trois familles de calculs : les périmètres (le tour d'une forme), les aires (la surface) et les volumes (la place occupée). Si vous avez oublié les formules, ce n'est pas grave : elles tiennent sur une page, et la calculatrice fait le reste.

2. Le cercle : diamètre, rayon et π

Le diamètre D traverse le cercle en passant par le centre. Le rayon R va du centre au bord : c'est la moitié du diamètre. Sur un plan, on cote presque toujours le diamètre (symbole Ø). Le nombre π (« pi ») vaut environ 3,14159 ; utilisez la touche π de la calculatrice.

3. Le rectangle et le triangle

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l, le périmètre est P = 2 × (L + l) et l'aire A = L × l. La plaque du SV-40 mesure 120 × 80 : P = 2 × (120 + 80) = 400 mm ; A = 120 × 80 = 9 600 mm².

Un triangle est la moitié d'un rectangle : A = base × hauteur ÷ 2. La hauteur se mesure perpendiculairement à la base, pas le long du côté penché. Un gousset de chaudronnerie triangulaire de base 60 mm et de hauteur 40 mm a une aire de 60 × 40 ÷ 2 = 1 200 mm².

4. Le triangle rectangle et Pythagore

Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit, le plus long, s'appelle l'hypoténuse. Le théorème de Pythagore relie les trois côtés : si vous connaissez les deux petits, vous calculez le grand.

5. Les unités d'aire et de volume

C'est le piège du chapitre. Une aire, ce sont des longueurs multipliées deux fois ; un volume, trois fois. Les conversions se font donc par 100 pour les aires et par 1 000 pour les volumes, pas par 10.

6. Les aires composées

Une forme compliquée se découpe en formes simples. On additionne ce qui est plein, on soustrait ce qui est vide (trous, encoches).

7. Les volumes

Pour les volumes courants, une seule idée : volume = aire de la base × longueur. Un pavé est un rectangle qu'on allonge, un cylindre un disque qu'on allonge, un tube une couronne qu'on allonge, un prisme un triangle qu'on allonge.

8. Du volume à la masse

La masse volumique, notée ρ (« rhô »), est la masse d'un volume unitaire de matière. Elle se donne en g/cm³, ce qui revient au même nombre en kg/dm³. La masse se calcule en multipliant le volume par la masse volumique, à condition d'utiliser des unités qui vont ensemble.

1. 1.Mettez toutes les cotes en millimètres, comme sur le plan.
2. 2.Calculez le volume en mm³.
3. 3.Convertissez en cm³ en divisant par 1 000.
4. 4.Multipliez par ρ en g/cm³ : vous obtenez des grammes. Divisez par 1 000 pour avoir des kilogrammes.
5. 5.Contrôlez le bon sens : une pièce qui tient dans la main pèse quelques kilogrammes au plus.

9. La masse du support SV-40

Le SV-40 est en acier S235JR. Simplifions-le : une plaque de 120 × 80 × 15, un bossage Ø40 qui dépasse de 20 mm (hauteur totale 35), un alésage Ø20 débouchant sur toute la hauteur, et quatre trous Ø11 dans la plaque.

1. 1.Plaque : 120 × 80 × 15 = 144 000 mm³.
2. 2.Bossage, au-dessus de la plaque : π × 20² × 20 ≈ 25 133 mm³.
3. 3.Alésage Ø20 sur 35 mm, à retirer : π × 10² × 35 ≈ 10 996 mm³.
4. 4.Quatre trous Ø11 sur 15 mm, à retirer : 4 × π × 5,5² × 15 ≈ 5 702 mm³.
5. 5.Total : 144 000 + 25 133 − 10 996 − 5 702 ≈ 152 435 mm³ ≈ 152,4 cm³.
6. 6.Masse : 152,4 × 7,85 ≈ 1 197 g, soit environ 1,20 kg.

Le cartouche du plan annonce 1,11 kg. L'écart d'environ 0,09 kg vient des formes que notre calcul a laissées de côté. Comptons-les :
• les quatre lamages Ø18 sur 11 mm, moins les trous Ø11 déjà retirés : 4 × π × (9² − 5,5²) × 11 ≈ 7 015 mm³, soit − 7,0 cm³ ;
• la rainure 10 × 5 sur 120 mm fait 6 000 mm³, mais l'alésage en avait déjà retiré environ 1 000 mm³ là où ils se croisent : − 5,0 cm³ ;
• le perçage du taraudage M8, Ø6,8 sur 12 mm : − 0,4 cm³ ;
• la nervure, qui ajoute de la matière : environ + 1,6 cm³.
152,4 − 7,0 − 5,0 − 0,4 + 1,6 = 141,6 cm³, et 141,6 × 7,85 ≈ 1 112 g : on retombe sur les 1,11 kg du cartouche. Retenez la leçon : le calcul simplifié donne le bon ordre de grandeur, et c'est souvent ce qu'on lui demande ; pour la valeur exacte, on n'oublie aucune forme, et surtout pas celles qui se chevauchent. Notez aussi que le brut pesait 3,34 kg : près des deux tiers partent en copeaux.

10. Commander la barre pour un lot

Pour débiter des pièces dans une barre, on ne peut pas simplement diviser la longueur de la barre par la longueur de la pièce. Il faut ajouter ce que l'on perd à chaque coupe et en bout de barre.

Pour vérifier un calcul, le calculateur Masse d’une pièce donne le volume et la masse d’une plaque, d’une barre ou d’un tube, trous déduits, pour une pièce et pour tout le lot.

11. Pour aller plus loin